روش حل مسئله در ریاضی فقط حفظ کردن فرمول و انجام محاسبات نیست؛ مهم ترین بخش آن این است که دانش آموز بتواند بفهمد سوال دقیقا چه چیزی می خواهد و برای رسیدن به پاسخ از چه مسیری باید استفاده کند. بسیاری از سوالات سخت ریاضی به این دلیل دشوار هستند که روش حل آنها مستقیما در صورت سوال نوشته نشده است. دانش آموز باید داده ها را تحلیل کند، رابطه میان آنها را پیدا کند، راهبرد مناسب را انتخاب کند و در پایان پاسخ را بررسی کند.

برای تقویت روش حل مسئله در ریاضی می توان از تکنیک هایی مانند مشخص کردن داده و مجهول، رسم شکل، ساخت جدول، ساده کردن مسئله، تقسیم سوال به چند بخش، پیدا کردن الگو، تبدیل متن به رابطه ریاضی و کنترل پاسخ استفاده کرد. این تکنیک ها برای مسائل کلامی، هندسه، معادله، الگو، کسر، درصد و سوالات چندمرحله ای کاربرد دارند.

در این مطلب ۷ تکنیک مهم روش حل مسئله در ریاضی را بررسی می کنیم و برای هرکدام توضیح می دهیم چه زمانی باید از آن استفاده کرد و چگونه می توان با تمرین، مهارت حل سوالات سخت را تقویت کرد.

روش حل مسئله در ریاضی چیست و چرا حل بعضی سوالات سخت است؟

روش حل مسئله در ریاضی یعنی پیدا کردن یک مسیر منطقی برای رسیدن از اطلاعات موجود در سوال به پاسخ مورد نظر. در این مسیر، دانش آموز باید ابتدا مسئله را بفهمد، سپس راهبرد مناسبی انتخاب کند، راه حل را اجرا کند و در نهایت پاسخ خود را بررسی کند. این ساختار با مدل چهارمرحله ای جورج پولیا نیز هماهنگ است که مراحل فهم مسئله، طراحی راهبرد، اجرای راهبرد و بازبینی پاسخ را مطرح می کند.

یکی از دلایل اصلی سخت شدن سوالات ریاضی این است که بسیاری از سوالات، فرمول مورد نیاز را به صورت مستقیم اعلام نمی کنند. مثلا در یک تمرین ساده ممکن است مشخص باشد که باید مساحت مستطیل را حساب کنیم، اما در یک مسئله ترکیبی ابتدا باید تشخیص دهیم چه کمیتی مجهول است و چه رابطه ای میان اطلاعات وجود دارد.

به همین دلیل، روش حل مسئله در ریاضی بیشتر از اینکه به سرعت محاسبه وابسته باشد، به تحلیل و تصمیم گیری وابسته است. دانش آموزی که بتواند سوال را به بخش های کوچک تر تبدیل کند، داده های مهم را تشخیص دهد و قبل از محاسبه راه حل احتمالی را مشخص کند، حتی در برابر سوالات جدید نیز عملکرد بهتری خواهد داشت.

قبل از شروع حل مسئله ریاضی چه کارهایی انجام دهیم؟

قبل از اینکه سراغ فرمول یا محاسبه بروید، چند ثانیه برای تحلیل سوال وقت بگذارید. این کار ساده می تواند از بسیاری از خطاهای محاسباتی جلوگیری کند.

این مراحل را می توان برای تقریبا هر نوع سوالی به کار برد. حتی اگر سوال ساده باشد، عادت کردن به این روند باعث می شود در سوالات پیچیده تر نیز ذهن دانش آموز منظم باقی بماند.

تکنیک های روش حل مسئله در ریاضی

برای حل سوالات سخت، یک روش ثابت برای همه مسئله ها وجود ندارد. نوع سوال مشخص می کند که بهتر است از رسم شکل، ساخت جدول، ساده کردن مسئله، تعریف متغیر یا تقسیم سوال به چند مرحله استفاده شود. مهم این است که دانش آموز قبل از شروع محاسبات، ساختار مسئله را تشخیص دهد و مناسب ترین راهبرد را انتخاب کند. در ادامه، مهم ترین تکنیک های روش حل مسئله در ریاضی را بررسی می کنیم که می توانند در سوالات کلامی، هندسه، جبر، الگو و مسائل چندمرحله ای کاربرد داشته باشند.

تکنیک اول؛ داده ها، مجهول و خواسته مسئله را جدا کنید

یکی از مهم ترین پایه های روش حل مسئله در ریاضی، تشخیص درست اطلاعات مسئله است. بسیاری از دانش آموزان هنگام دیدن چند عدد، بلافاصله شروع به جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم می کنند؛ در حالی که هنوز مشخص نکرده اند سوال دقیقا چه چیزی از آنها می خواهد.

برای جلوگیری از این مشکل، صورت سوال را به سه قسمت تقسیم کنید: داده ها، مجهول و شرط ها.

فرض کنید سوال این باشد:

«یک فروشگاه کالایی را با قیمت ۸۰۰ هزار تومان خریداری کرده و آن را با ۱۵ درصد سود می فروشد. قیمت فروش کالا چقدر است؟»

داده های مسئله شامل قیمت خرید و درصد سود هستند. مجهول، قیمت فروش است و شرط مسئله این است که سود برابر با ۱۵ درصد قیمت خرید است.

حالا مسیر حل بسیار واضح تر می شود:

قیمت سود ← قیمت خرید × درصد سود

قیمت فروش ← قیمت خرید + سود

این روش باعث می شود دانش آموز به جای انجام یک محاسبه تصادفی، ابتدا ساختار مسئله را مشخص کند.

در مسائل ابتدایی نیز همین مهارت اهمیت زیادی دارد. برای مثال، در مسائل چندمرحله ای پایه سوم، دانش آموز باید تشخیص دهد کدام عدد مربوط به تعداد اولیه، کدام عدد مربوط به تغییر و کدام عدد مربوط به مقدار نهایی است. تمرین با معلم خصوصی ریاضی سوم دبستان می تواند روی همین مهارت پایه ای تمرکز داشته باشد.

تکنیک دوم؛ برای مسئله شکل، جدول یا نمودار بکشید

رسم شکل یکی از کاربردی ترین تکنیک های روش حل مسئله در ریاضی است، مخصوصا زمانی که رابطه میان چند کمیت در متن سوال پنهان شده باشد.

شکل لازم نیست حرفه ای یا دقیق باشد. هدف از رسم شکل این است که اطلاعات مسئله را به یک نمایش قابل مشاهده تبدیل کنیم.

مثلا اگر سوال درباره فاصله دو شهر، حرکت دو نفر، طول و عرض یک زمین یا رابطه میان چند قسمت یک شکل باشد، رسم یک تصویر ساده می تواند اطلاعاتی را که در متن پراکنده هستند کنار هم قرار دهد.

در مسائل عددی نیز همیشه لازم نیست شکل بکشیم. گاهی جدول بهتر عمل می کند.

با چنین جدولی، رابطه میان تعداد و قیمت مشخص می شود و دانش آموز راحت تر می تواند عملیات مناسب را تشخیص دهد.

در مسائل هندسه، رسم شکل اهمیت بیشتری دارد. دانش آموز می تواند طول ها، زاویه ها و اطلاعات داده شده را روی شکل بنویسد و سپس مشخص کند برای رسیدن به مجهول از کدام رابطه استفاده کند.

برای دانش آموزان پایه چهارم، تبدیل مسئله متنی به شکل یا جدول می تواند به درک بهتر مسئله کمک کند و یکی از مهارت های مهم در معلم خصوصی ریاضی چهارم دبستان محسوب می شود.

تکنیک سوم؛ سوال سخت را به چند مسئله کوچک تر تقسیم کنید

وقتی یک سوال طولانی است، نباید تلاش کنید تمام آن را در یک مرحله حل کنید. یکی از بهترین روش های حل مسئله در ریاضی این است که مسئله بزرگ را به چند مسئله کوچک تر تبدیل کنیم.

فرض کنید سوالی از شما می خواهد ابتدا محیط یک مستطیل را پیدا کنید، سپس با استفاده از محیط، هزینه حصارکشی را به دست آورید و در پایان درصد تخفیف را محاسبه کنید.

حل این سوال را می توان به سه مرحله تقسیم کرد:

۱. محاسبه محیط مستطیل

۲. محاسبه هزینه اولیه حصارکشی

۳. محاسبه مبلغ پس از تخفیف

در این حالت، اگر پاسخ نهایی اشتباه شود، می توانید هر مرحله را جداگانه بررسی کنید.

این تکنیک مخصوصا برای دانش آموزانی که هنگام مواجه شدن با سوالات طولانی دچار سردرگمی می شوند بسیار مفید است. مسئله دیگر یک متن طولانی و مبهم نیست؛ بلکه مجموعه ای از چند سوال کوچک است که یکی پس از دیگری حل می شوند.

در پایه پنجم، سوالات چندمرحله ای بیشتر به چشم می خورند و دانش آموز باید بتواند عملیات را با ترتیب درست انجام دهد. تمرین با معلم خصوصی ریاضی پنجم دبستان می تواند برای تقویت این مهارت مفید باشد.

تکنیک چهارم؛ مسئله را ساده تر کنید و از نمونه کوچک شروع کنید

گاهی حل مستقیم یک سوال دشوار است. در این شرایط، یکی از روش های موثر حل مسئله در ریاضی این است که ابتدا یک نسخه ساده تر از همان مسئله بسازید.

فرض کنید سوال درباره تعداد حالت های یک الگوی پیچیده در مرحله صدم باشد. لازم نیست بلافاصله سراغ مرحله صدم بروید. ابتدا مرحله اول، دوم، سوم و چهارم را بررسی کنید.

حالا ممکن است متوجه شوید که در هر مرحله دو واحد به مقدار قبلی اضافه می شود. این الگو می تواند مسیر حل مرحله صدم را مشخص کند.

همین روش در مسائل شمارشی، دنباله ها، الگوهای عددی و بعضی مسائل هندسه کاربرد دارد.

نکته مهم این است که نمونه کوچک قرار نیست پاسخ مسئله اصلی باشد. هدف آن پیدا کردن رابطه یا الگوی موجود در مسئله است.

این تکنیک برای پایه ششم نیز اهمیت زیادی دارد، زیرا دانش آموز در این مرحله با مسائل ترکیبی و مفهومی بیشتری روبه رو می شود. در صورت نیاز به تمرین هدفمند، معلم خصوصی ریاضی ششم دبستان می تواند روی تحلیل مسئله و انتخاب راهبرد تمرکز کند.

تکنیک پنجم؛ متن مسئله را به زبان ریاضی تبدیل کنید

یکی از مهم ترین مهارت ها در روش حل مسئله در ریاضی، تبدیل جملات فارسی به عبارت یا رابطه ریاضی است.

برای مثال:

«پنج واحد بیشتر از دو برابر یک عدد برابر با ۱۹ است.»

اگر عدد را x در نظر بگیریم:

۲x + ۵ = ۱۹

حالا یک مسئله متنی به یک معادله تبدیل شده است.

چند عبارت پرکاربرد را نیز می توان به شکل زیر ترجمه کرد:

البته تبدیل متن به معادله فقط جایگزین کردن چند کلمه با نماد نیست. باید دقیقا مشخص شود هر متغیر چه چیزی را نشان می دهد و رابطه میان کمیت ها چگونه است.

این مهارت در متوسطه اول اهمیت بسیار بیشتری پیدا می کند؛ زیرا مسائل جبری، معادلات و مسائل کلامی معمولا نیازمند تعریف متغیر و ساختن رابطه هستند. دانش آموزان می توانند برای تمرین این مهارت از معلم خصوصی ریاضی هفتم دبستان کمک بگیرند.

تکنیک ششم؛ مسئله جدید را با سوالات قبلی مقایسه کنید

گاهی ظاهر یک سوال کاملا جدید است، اما ساختار ریاضی آن قبلا در سوال دیگری دیده شده است.

وقتی با سوال سختی روبه رو شدید، از خودتان بپرسید:

«آیا قبلا سوالی شبیه این حل کرده ام؟»

مثلا ممکن است یک سوال درباره تعداد کاشی های یک کف، سوال دیگری درباره تعداد چوب کبریت ها و سوال سوم درباره تعداد نقطه های یک الگو باشد؛ اما هر سه از یک رابطه عددی استفاده کنند.

دانش آموز قوی فقط سوالات را حفظ نمی کند؛ بلکه ساختار آنها را می شناسد.

برای این کار بعد از حل هر سوال، فقط پاسخ را یادداشت نکنید. بنویسید:

• سوال از چه نوعی بود؟
• اولین قدم حل چه بود؟
• چرا این فرمول یا روش را انتخاب کردم؟
• آیا روش دیگری هم وجود داشت؟
• اگر اعداد سوال تغییر کنند، آیا روش من همچنان جواب می دهد؟

این نوع تحلیل باعث می شود روش حل مسئله در ریاضی به یک مهارت قابل انتقال تبدیل شود.

در پایه هشتم، این موضوع به ویژه در سوالات ترکیبی جبر و هندسه اهمیت دارد. دانش آموز می تواند با استفاده از معلم خصوصی ریاضی هشتم دبستان روی تشخیص ساختار مشترک میان سوالات مختلف تمرین کند.

تکنیک هفتم؛ بعد از رسیدن به جواب، آن را بررسی کنید

یکی از مراحل مهم روش حل مسئله در ریاضی، بررسی پاسخ است. رسیدن به یک عدد در پایان محاسبات لزوما به معنی حل درست مسئله نیست.

ممکن است محاسبات درست باشند اما دانش آموز چیزی متفاوت از خواسته سوال را محاسبه کرده باشد. مثلا سوال مقدار باقی مانده را خواسته باشد اما دانش آموز مقدار مصرف شده را پیدا کرده باشد.

برای کنترل جواب، این سوالات را از خودتان بپرسید؛ آیا دقیقا همان چیزی را پیدا کردم که سوال خواسته است؟ واحد پاسخ درست است؟ عدد به دست آمده منطقی است؟ آیا علامت مثبت و منفی درست است؟ می توانم جواب را دوباره در رابطه اصلی قرار دهم؟

مثلا اگر در یک معادله مقدار x را به دست آورده اید، مقدار آن را در معادله اولیه جایگذاری کنید. اگر دو طرف برابر شدند، یک کنترل مهم روی پاسخ انجام داده اید.

در هندسه نیز می توان اندازه به دست آمده را با اطلاعات شکل مقایسه کرد. برای مسائل درصد و تخفیف نیز می توان تقریبی ذهنی انجام داد تا مشخص شود جواب از نظر اندازه منطقی است یا خیر.

در پایه نهم، این مرحله اهمیت بیشتری پیدا می کند، چون سوالات معمولا چندمرحله ای و ترکیبی هستند. تمرین با معلم خصوصی ریاضی نهم دبستان می تواند به دانش آموز کمک کند عادت بازبینی پاسخ را در حل سوالات پیچیده تر ایجاد کند.

جدول انتخاب بهترین تکنیک برای انواع سوالات ریاضی

تشخیص اینکه در هر سوال از کدام روش حل مسئله در ریاضی استفاده کنیم، خودش یک مهارت مهم است. جدول زیر می تواند یک راهنمای سریع باشد.

چگونه برای حل سوالات سخت ریاضی تمرین کنیم؟

تمرین حل مسئله نباید فقط به زیاد حل کردن سوال محدود شود. اگر دانش آموز هر روز تعداد زیادی سوال کاملا مشابه حل کند، ممکن است در همان تیپ سوال سریع شود اما هنگام مواجه شدن با سوال جدید دوباره دچار مشکل شود.

تمرین موثر باید ترکیبی از سوالات ساده، متوسط و چالشی باشد. بعد از هر سوال نیز بهتر است فقط جواب بررسی نشود؛ بلکه روش رسیدن به جواب تحلیل شود.

یک برنامه تمرینی مناسب می تواند این شکل را داشته باشد:

برای مثال، اگر دانش آموز در سوالی اشتباه کرده است، نباید فقط پاسخ صحیح را از روی کتاب بنویسد. باید مشخص کند مشکل کجا بوده است: صورت سوال را درست نفهمیده؟ فرمول نامناسب انتخاب کرده؟ یک مرحله را جا انداخته؟ محاسبه اشتباه بوده؟ یا پاسخ را بررسی نکرده است؟

ثبت این خطاها در یک دفتر مخصوص می تواند به مرور الگوی اشتباهات را مشخص کند.

روش حل مسئله در ریاضی برای دانش آموزان ابتدایی و متوسطه چه تفاوتی دارد؟

اصل روش حل مسئله در ریاضی در همه پایه ها یکسان است، اما ابزارها و میزان پیچیدگی سوال تغییر می کند. در دوره ابتدایی، دانش آموز بیشتر با درک صورت سوال، چهار عمل اصلی، کسر، اندازه گیری، جدول، شکل و الگو سروکار دارد. بنابراین آموزش باید روی فهمیدن خواسته سوال و ارتباط دادن اطلاعات تمرکز کند.

در متوسطه اول، معادله، عبارت های جبری، هندسه و مسائل چندمرحله ای اهمیت بیشتری پیدا می کنند. این مرحله دانش آموز باید بتواند برای مجهول متغیر تعریف کند، روابط را بنویسد و از چند مفهوم برای رسیدن به پاسخ استفاده کند. در پایه دهم نیز سوالات معمولا نیازمند تحلیل بیشتر هستند. دانش آموز باید قبل از انتخاب فرمول، ساختار مسئله را تشخیص دهد و در صورت نیاز چند مرحله را به هم ارتباط دهد.

به همین دلیل، روش حل مسئله در ریاضی باید متناسب با پایه تحصیلی آموزش داده شود. یک دانش آموز ابتدایی به تمرین تصویری و مرحله ای بیشتری نیاز دارد، در حالی که دانش آموز متوسطه باید به سمت تحلیل، مدل سازی و استدلال ریاضی حرکت کند.

برای دانش آموز پایه دهم، تمرین سوالات ترکیبی و تقویت توانایی تحلیل صورت سوال می تواند در کنار آموزش مفاهیم درسی انجام شود و استفاده از معلم خصوصی ریاضی دهم دبستان یکی از گزینه های آموزشی برای این مرحله است.

اشتباهات رایج در روش حل مسئله در ریاضی

بعضی اشتباهات در بین دانش آموزان بسیار رایج هستند و باعث می شوند حتی با وجود بلد بودن درس، پاسخ سوال اشتباه شود.

اولین اشتباه، شروع سریع محاسبات است. دانش آموز عددها را می بیند و بدون تحلیل صورت سوال شروع به عملیات می کند.

دومین اشتباه، استفاده از یک فرمول فقط به دلیل اینکه در همان فصل آموزش داده شده است. هر سوالی که در یک فصل قرار دارد لزوما با اولین فرمول آن فصل حل نمی شود.

سومین اشتباه، حذف مراحل حل است. وقتی دانش آموز همه محاسبات را ذهنی یا فشرده انجام می دهد، پیدا کردن محل خطا دشوارتر می شود.

چهارمین اشتباه، نادیده گرفتن واحدهاست. در مسائل اندازه گیری، تبدیل نکردن متر به سانتی متر یا ساعت به دقیقه می تواند کل پاسخ را تغییر دهد.

پنجمین اشتباه، بررسی نکردن جواب است. بازبینی بخشی از روش حل مسئله در ریاضی است، نه یک مرحله اضافی و غیرضروری.

چطور سرعت حل سوالات ریاضی را بدون افزایش خطا بالا ببریم؟

افزایش سرعت نباید هدف اول دانش آموز باشد. ابتدا باید روش حل مسئله در ریاضی به شکل درست تثبیت شود و بعد سرعت افزایش پیدا کند.

برای بالا بردن سرعت، می توان از سه عادت استفاده کرد. اول اینکه هنگام خواندن سوال، داده و مجهول را سریع تشخیص دهید. دوم اینکه قبل از شروع محاسبات، راه حل را در ذهن یا روی کاغذ مشخص کنید. سوم اینکه محاسبات ساده را با تمرین زیاد سریع تر انجام دهید.

به عنوان مثال، دانش آموزی که درصدهای ساده، کسرها و چهار عمل اصلی را به خوبی تمرین کرده است، هنگام حل یک مسئله چندمرحله ای انرژی ذهنی کمتری برای محاسبات پایه مصرف می کند و می تواند تمرکز بیشتری روی بخش تحلیلی سوال داشته باشد.

با این حال، سرعت بالا بدون دقت ارزش چندانی ندارد. هدف روش حل مسئله در ریاضی این است که دانش آموز بتواند با کمترین سردرگمی، مسیر درست را پیدا کند و پاسخ را با اطمینان بررسی کند.

جمع بندی؛ چگونه در حل سوالات سخت ریاضی قوی شویم؟

برای قوی شدن در حل سوالات سخت، لازم نیست همه سوالات را از قبل دیده باشید. چیزی که اهمیت بیشتری دارد، یادگیری روش حل مسئله در ریاضی و توانایی انتخاب راهبرد مناسب است.

هفت تکنیک اصلی که در این مطلب بررسی کردیم عبارتند از:

۱. جدا کردن داده ها، مجهول و خواسته سوال

۲. استفاده از شکل، جدول یا نمودار

۳. تقسیم مسئله پیچیده به چند مسئله کوچک تر

۴. ساده کردن مسئله و بررسی نمونه های کوچک

۵. تبدیل متن به عبارت یا رابطه ریاضی

۶. پیدا کردن شباهت میان مسئله جدید و سوالات قبلی

۷. بررسی و کنترل پاسخ نهایی

این تکنیک ها قرار نیست جای فرمول ها و مفاهیم ریاضی را بگیرند. بلکه کمک می کنند دانش آموز بداند چه زمانی از هر مفهوم و فرمول استفاده کند. در واقع، تفاوت اصلی میان حفظ کردن ریاضی و یادگیری ریاضی همین جا مشخص می شود.

هرچه دانش آموز بیشتر سوالات متنوع را تحلیل کند و بعد از حل، روش خود را بررسی کند، روش حل مسئله در ریاضی برای او طبیعی تر می شود. به مرور، سوالات سخت نیز به جای اینکه یک متن پیچیده و ترسناک باشند، به مجموعه ای از اطلاعات و روابط تبدیل می شوند که می توان آنها را مرحله به مرحله تحلیل و حل کرد.

سوالات متداول درباره روش حل مسئله در ریاضی

۱. چرا با وجود بلد بودن فرمول ها نمی توانم سوالات سخت ریاضی را حل کنم؟

زیرا دانستن فرمول با تشخیص زمان استفاده از آن متفاوت است. در سوالات سخت معمولا ابتدا باید داده ها، مجهول و رابطه میان آنها را پیدا کنید و سپس فرمول مناسب را انتخاب کنید.

۲. برای حل مسئله های ریاضی اول فرمول را پیدا کنیم یا صورت سوال را تحلیل کنیم؟

ابتدا صورت سوال را تحلیل کنید. مشخص کنید چه اطلاعاتی دارید، چه چیزی را باید پیدا کنید و چه رابطه ای میان آنها وجود دارد. سپس فرمول یا راهبرد مناسب را انتخاب کنید.

۳. آیا می توان یک مسئله ریاضی را با چند روش مختلف حل کرد؟

بله. بسیاری از مسائل ریاضی بیش از یک مسیر حل دارند. ممکن است یک سوال را با رسم شکل، معادله، جدول یا استدلال مستقیم حل کرد. مقایسه روش ها می تواند درک دانش آموز از ساختار مسئله را بیشتر کند.

۴. بهترین راه برای پیدا کردن اشتباه در حل یک سوال ریاضی چیست؟

مراحل حل را از ابتدا بررسی کنید و مشخص کنید اولین مرحله ای که نتیجه آن با اطلاعات مسئله ناسازگار شده کدام است. سپس داده ها، عملیات، واحدها و در صورت امکان پاسخ نهایی را با جایگذاری دوباره کنترل کنید.